医者でも本当に退職できるんですか？

はい、従業員（医者・看護師・薬剤師の方など）には会社を辞める権利がありますので、必ず医療法人を辞めることができます。
ご依頼者様が正社員、契約期間（雇用期間）が決まっていない派遣社員・パート・アルバイトの場合、民法627条1項により会社を辞める権利があります。
ご依頼者様が上記以外（契約社員、期間工、契約期間（雇用期間）が決まっている派遣社員・パート・アルバイト）の場合、やむを得ない事由がある場合には、雇用期間終了前でも民法628条により会社を辞める権利があります。退職代行サービスをご希望の方の場合、会社がブラック企業である等、雇用期間終了前に会社を辞める権利がある場合がほとんどです。これは病院でも同じですので、問題ありません。

勤務先（病院）から訴えられませんか？

法律に従って会社（病院）を辞めていれば、勤務先に対して損害賠償をする責任などが発生することはありません。これは、法律上確実ですので、ご安心ください。
弁護士による退職代行サービスですので、病院側が「損害賠償請求するぞ」などど言ってきても、適切に反論・対応が可能です。

勤務先から連絡が来たりしませんか？

退職代行を行う弁護士から、勤務先に対して、「一切の連絡は弁護士を通じて行うように」と伝えますので、弁護士を介さずにご依頼者様に直接連絡が来る可能性はかなり低いです。
もし、電話が来た場合でも電話に出る必要はありませんし、メールやLINEが来た場合には返信する必要はありません。間違えて電話に出てしまった場合には、「弁護士に任せていますので、弁護士に連絡して下さい」と言って、電話を切ってしまって大丈夫です。
あまりにしつこく連絡が来る場合には、私達にそのことを伝えれば、適切に対応いたします。

離職票、源泉徴収票などの必要書類はもらえますか?
また、雇用保険被保険者証や年金手帳を院側が管理している場合にはどうすればよいですか?

ご依頼者様が弁護士に「離職票がほしい」、「雇用保険被保険者証や年金手帳を会社が管理しているので返却してがほしい」と伝え頂ければ、弁護士がご依頼者様に代わって勤務先へ要求し、ご指定の住所に送るようお伝えしますのでご安心ください。

次の転職先に、代行を使って退職したことがバレたりしませんか？

退職代行を行う弁護士から、勤務先に対して「退職の事実は個人情報であるから、両親を含めて第三者には伝えないように」とお伝え致します。そのため、次の入職に不利になる可能性は低いです。